Accélération de la Convergence en Analyse Numérique by Claude Brezinski

By Claude Brezinski

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Ci xi Si on a p p l i q u e alors l's-algorithme aux sommes : l=O (n) C2k In + k/k] = d~monstration : on a v u au d ~ b u t de ce p a r a g r a p h e Sn . . . que Sn+k (n) I~Sn+k-l'"&Sn+2k - 1 a2k - ~ 1 ASn . . . ASn+k IASn+k_l-"ASn+2k_ o n a &S n n = c x n+l n+l d'og c i x i ..... Cn+ 1 x n+l n+k ~ c. x i i=O l Cn+k+1 x .... Cn+2k x ..... Cn+k+ 1 x ..... Cn+2k n+2k n+k (n)_ C2k - Cn+ k x 1 Cn+l x n+ 1 n+k Cn+ k x Multiplions par x n+k+l .... k-] n+2k la p r e m i e r e , etc. n+k+ I x colonne et les d e r n i ~ r e s du n u m ~ r a t e u r par et du d ~ n o m i n a t e u r 1.

Ainsi la troisi~me par sa : | kS n ......... kSn+ k . . . . . . . . . . . IkSn+k- 1 '" &Sn+2k-l/ D'o~ la transformation gSn+k- I .... kSn+2k- 1 ek(S n) de Shanks qui, en faisant de nouveau des comb inaisons de lignes et de colonnes, s'~crit S n ........ Sn+ k Sn+ 1 ...... Sn+k+ 1 Sn+ k . . . Sn+2k &2Sn . . . &2Sn+k-1 : ek(Sn )= A2Sn+k_ 1.. Cette formule k2Sn+2k_2 a @t@ e n r @ a l i t @ d @ c o u v e r t e par Jacobi [115] puis reprise par Schmidt [ 168 ] . Par construction m~me de cette transformation Th@or~me on a l e : 35 : une condition n@cessaire et suffisante pour que ek(S n) = S Yn > N e s t que la suite {Sn] 42 v~rifie k LV ai (Sn+ i - S) = 0 i=O avec ~n > N k LV a i # O.

Galement coefficients Cp+q_ I on voit que bl' = b b" = 0. On a aussi a~ = a. V i. Les quatre approximants q l l Ses (cp) b~' l sont donn~s par : Cp_] [p-l/q~. Sur cette question on pourra consulter 61 La connexion ~ui e x i s t e e n t r e p a r S h a n k s [170] Th~or~me 42 la t a b l e de P a d ~ et l ' c - a l g o r i t h m e et W y n n [213] a ~t~ m i s e e n l u m i ~ r e : : co S o i t f(x) = partielles ~ i=O ci x i une s~rie de p u i s s a n c e s . ~ ci xi Si on a p p l i q u e alors l's-algorithme aux sommes : l=O (n) C2k In + k/k] = d~monstration : on a v u au d ~ b u t de ce p a r a g r a p h e Sn .

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